तीन–दुई बत्तीस हैन, तीनदश–दुई बत्तीस !

हामी अहिलेका शिक्षकहरू कक्षा एकमा पढ्दा देखि आजसम्म पनि विद्यार्थीलाई सङ्ख्याको धारणा बसाल्न सिकाइने शिक्षण परिपाटी उही नै छ । हामीलाई “... दुई–तीन तेइस... तीन–दुई बत्तीस...” भनेर पढाइएको थियो, अहिले हामी पनि लगभग त्यसरी नै पढाइरहेका छौं । तर के २ को पछाडि ३ लगेर राखिदिँदैमा २३ हुन्छ त ?

“एक.. दुई.. तीन.. चार.. पाँच..
छ.. सात.. आठ... नौ.. एकलाई सुन्ना–दश..
एक–एक एघार.. एक र दुई बाह्र.. एक र तीन तेह्र.. ..
दुईलाई सुन्ना बीस.. .. तीनलाई सुन्ना–तीस.. ..
नौ र आठ–अन्ठानब्बे.. नौ–नौ उनान्सय.. एकलाई दुई सुन्ना सय !”

पैंतीस वर्ष अगाडि कक्षा एकमा पढ्दा लय हाली–हाली, स्वर सुकाई–सुकाई मैले पनि गाएको गणितकोगीत हो यो । त्यसवेला गणितको कक्षामा मात्र होइन ‘पिरियड’ खाली भएको समयमा समेत हामीलाई व्यस्त राख्न बारम्बार प्रयोग हुने गरेको एउटा ‘हिट’गीत थियो यो । “दुई–एकान दुई... दुई–दुना चार...” त्यस्तै अर्को चल्तीकोगीत थियो । कक्षा चारमा पुगेपछि “ओ–एन–ई वन... टी–डब्लु–ओ टु...” र “वन–वन इलेभेन... वन–टु टुभेल...” आदिगीतसँगै हराम्रो अन्तर्राष्ट्रिय करण भयो, जुनगीतहरू आजकल कक्षा एक देखि नै गाउने गरिन्छन् ।

शिक्षण क्रियाकलाप मागीत एउटा अत्यन्तै सशक्त माध्यम मानिन्छ । यसलाई उपयुक्त किसिमले कक्षाकोठामा प्रयोग गर्न सकियो भने गणित मात्र होइन अन्य जुनसुकै विषयसँग सम्बन्धित धारणाहरू पनि विद्यार्थीको दिमागमा सजिलै बसाल्न सकिन्छ । तर गीतको माध्यमबाट सिकेका कतिपय कुरा हरू विद्यार्थीले अन्यत्र प्रयोग गर्न सक्छन् कि सक्दैनन्; वा भावार्थ नबुझी “गोपीकृष्ण कहो...” शैलीमा मात्र सिक्ने गरेका छन् कि भन्ने कुरा मा चाहिँ हामी शिक्षकहरू सचेत हुनु आवश्यक छ ।
विद्यालय तहमा गणित पढाउने क्रममा दुई अङ्कले बनेका सङ्ख्याको प्रसङ्ग आउँदा विद्यार्थीहरूको बीचमा म एउटा प्रश्न फालिदिने गर्छुः
“२३ र ३२ मा कुन ठूलो ?”
विद्यार्थीहरू सहजै उत्तर दिन्छन्ः “३२ ठूलो नि सर ! यो त कुनै समस्याको कुरै भएन नि !”
म पुनः प्रश्न गर्छुः “कसरी ३२ ठूलो भयो ?”
विद्यार्थीहरूको उत्तरः “२३ भन्दा ३२ त्यसै ठूलो छ नि ! यसको पनि कुनै कारण हुन्छ र ?”
साना कक्षाका विद्यार्थीहरूसँग म यहाँभन्दा अगाडि बढ्दिनँ । तर ठूला कक्षाका विद्यार्थीहरूसँग अझै केहीबेर जिस्किन मन लाग्छः “३२ भनेको के हो नि ?”
विद्यार्थीहरूको सहज उत्तर हुन्छः “३२ भनेको तीन–दुई बत्तीस ।”
मेरा प्रश्न अझै सकिएका छैनन्ः “२३ = ३२ किन हुन सक्दैन ?”
विद्यार्थीले झर्को मानिसकेका हुन्छन्, तर म अझै छोड्दिनँः “बीज गणितमा Xy = yx  हुन सक्छ, ज्यामितिमा रेखाखण्ड AB= BA हुन सक्छ भने अङ्क गणितमा २३ = ३२ किन हुन सक्दैन ?”
अब चाहिँ विद्यार्थीहरू रन्थनिन्छन् ।

विद्यार्थीलाई समस्या माथि समस्या थोपर्नु मेरो उद्देश्य होइन । मेरो मनसाय उनीहरूले सङ्ख्याहरूमा प्रयोग हुने अङ्कहरूको मुहारमान (Face value)  मात्र बुझेका छन् कि तिनको स्थानमान (Place value) पनि बुझेका छन् भनेर खोतल्ने सम्म हो । २३ र ३२ मा प्रयोग भएका २ र ३ को स्थान मान प्रत्येक सङ्ख्यामा फरक हुन्छ भन्ने कुरा को ज्ञान विद्यार्थीहरूमा कति मात्रामा छ भनेर मैले उधिन्न खोजेको हुँ । तर विद्यार्थीहरू मेरो प्रश्नमै अल्मलिन पुगेपछि मैले नै त्यसकोगाँठो फुकाइदिनुको कुनै विकल्प रहँदैन ।

ज्यामितिमा रेखाखण्ड AB भन्नाले त्यसको एकछेउ A देखि अर्कोछेउ B सम्मको दूरी भन्ने बुझिन्छ । उक्त दूरी B बाट A सम्म नाप्दा पनि उत्ति नै हुन्छ । त्यसैले रेखाखण्ड AB = BA भएको हो । त्यस्तै, बीज गणितमा xy भन्नाले x र y कोगुणनफल अर्थात् x × y भन्ने बुझिन्छ । यसलाई x.y वा xy मात्र पनि लेख्न सकिन्छ । सङ्ख्याहरूको गुणनमा क्रमविनिमय नियम (Commutative property) लागू हुने भएकाले x×y =  y×x हुन्छ । त्यसैले xy=yx भएको हो । तर अङ्क गणितमा २३ भन्नाले ज्यामितिमा जस्तो २ देखि ३ सम्मको दूरी पनि होइन र बीज गणितमा जस्तो २ र ३ को गुणनफल पनि होइन । २३ र ३२ दुवै सङ्ख्यामा प्रयोग भएका अङ्कहरू २ र ३ को मान xy वा yx मा x र y को मान एउटै भएजस्तो होइन । यहाँ त; २३ मा २ दशको स्थानमा र ३ एकको स्थानमा हुन्छ भने ३२ मा ३ दशको स्थानमा र २ एकको स्थानमा हुन्छ । त्यसैले २३ भनेको २×१०+३×१ वा २०+३ हो भने ३२ भनेको ३×१०+२×१ वा ३०+२ हो । त्यसैले; २३ र ३२ बराबर नभएका हुन् भन्ने कुरा अङ्क गणित, बीज गणित र ज्यामितिमा प्रयोग हुने गरेका सङ्केतहरूको अर्थ तुलना गरेर बताएपछि बल्ल विद्यार्थीहरू राहतको सास फेर्छन् ।

हामी अहिलेका शिक्षकहरू कक्षा एकमा पढ्दा वा सोभन्दा अगाडि देखि आजसम्म पनि विद्यार्थीहरूलाई सङ्ख्याको धारणा बसाल्न सिकाइने शिक्षण परिपाटी परम्परागत नै रहेको छ । हामीलाई “... दुई–तीन तेइस... तीन–दुई बत्तीस...” भनेर पढाइएको थियो भने अहिले हामी पनि लगभग त्यसरी नै पढाइरहेका छौं । तर के २ को पछाडि ३ लगेर राखिदिँदैमा २३ हुन्छ त ? दुईको पछाडि ३ राख्दा र ३ को पछाडि २ राख्दा के फरक हुन्छ ? यी र यस्ता धेरै प्रश्नहरूको समाधान निकाल्ने गरी विद्यार्थीहरूमा जिज्ञासा उत्पन्न गर्न सकिएन भने हामीले विद्यार्थीहरूलाई सिकाउने गरेको “...तीन–दुई बत्तीस...” “गोपी–कृष्ण–कहो...” भन्दा माथि उक्लन सक्दैन ।

हामीले विद्यार्थीहरूमा सङ्ख्यामा प्रयोग हुने अङ्कहरूको स्थानमान को धारणा बसाल्न विभिन्न शैक्षिक सामग्रीहरूको प्रयोग गरी क्रियाकलापहरू गराउन त परै जाओस्, सङ्ख्याहरूलाई स्थानमान तालिकामा राखेर तिनीहरूको विस्तारित रुप (Expanded Form) मा लेख्न समेत अभ्यास गराउन सकेका छैनौं । सामान्य भन्दा पनि सामान्य कुरा , विद्यार्थीहरूलाई गीतगाउनै ल गाउँदा पनि “...तीन–दुई बत्तीस...” होइन “...तीन दश–दुई बत्तीस...” भन्न सिकाउनु पर्छ भन्ने कुराको समेत हेक्का राख्न सकेका छैनौं ।

पाठ्यक्रममा के छ ?
प्राथमिक शिक्षा पाठ्यक्रमले कक्षा एकको गणित विषयमा सङ्ख्याहरूको स्थानमान सम्बन्धमा निम्नानुसार विशिष्ट उद्देश्य र त्यससँग सम्बन्धित विभिन्न सिकाइ–उपलब्धि; त्यसनिम्ति आवश्यक पर्ने क्रियाकलाप र मूल्याङ्कनका लागि सम्भाव्य प्रश्नहरूको समेत व्यवस्था गरेको छः
१–९९ सम्मका सङ्ख्यामा अङ्कहरूको स्थानमान भन्न र तालिकामा लेख्न (दुवैमा) ।
१–९९ सम्मका सङ्ख्याहरूलाई घट्दो र बढ्दो क्रममा लेख्न ।
दुई अङ्कले बनेका १०० सम्मका जोडी सङ्ख्याहरूलाई दाँज्न ।
दुई अङ्कले बनेका दुईवटा सङ्ख्याहरूको (हात लागि नआउने) जोड गर्न ।
दुई अङ्कले बनेका सङ्ख्याहरूको घटाउ (सापटी लिनु नपर्ने) गर्न ।

त्यसै गरी, कक्षा दुईमा तीन अङ्कले बनेका सङ्ख्याहरू, कक्षा तीनमा चार अङ्कले बनेका सङ्ख्याहरू र कक्षा चार देखि सातसम्म क्रमशः करोड, दश करोड, खरब र दश खरबसम्मका सङ्ख्याहरूको राष्ट्रिय र अन्तर्राष्ट्रिय पद्धतिमा स्थानमान को ज्ञान हासिल गरिसक्नुपर्ने गरी विशिष्ट उद्देश्यहरू निर्धारण गरिएको छ । कक्षा आठमा अत्यन्तै ठूला र अत्यन्तै साना सङ्ख्याहरूलाई वैज्ञानिक पद्धतिमा लेख्ने ज्ञान दिइएको छ । कक्षा ९–१० मा यसको व्यावहारिक प्रयोगसँग सम्बन्धित विभिन्न समस्याहरूको समाधान गर्ने गरी क्रियाकलाप हरूगराइने व्यवस्था छ । यहाँ चाहिँ कक्षा दुई र सोभन्दा माथिका कक्षाहरूको प्रसङ्गलाई छाडेर; कक्षा एकमा सिकाइनुपर्ने विषयवस्तुमा केन्द्रित भई विद्यार्थीहरूमा कसरी स्थानमान को धारणा बसाल्न सकिन्छ भन्ने बारेमा मात्र चर्चा गरिन्छ ।

पाठ्यपुस्तकमा के छ ?
कक्षा एकको पाठ्यपुस्तकमा दुई अङ्कले बनेका सङ्ख्याहरूको स्थानमान तालिका बनाउने र दिइएका सङ्ख्याहरूमा अङ्कहरूको स्थानमान बताउन सक्ने गरी पाठ्यक्रमले राखेको उद्देश्य पूरा गराउन जम्मा एक पेजमा एउटा उदाहरण र तीनवटा प्रश्नहरू दिइएको छ । (कक्षा एकको अङ्ग्रेजी माध्यमको गणित पाठ्यपुस्तकः थः बतजझबतष्अकस् ऋबिकक ज्ञ, पेज ५८) त्यसमा विद्यार्थीहरूलाई गराउनु पर्ने क्रियाकलाप र त्यसको लागि शिक्षकलाई आवश्यक पर्ने निर्देशन दिइएको छैन । पाठ्यपुस्तकको यो व्यवस्था पाठ्यक्रमले निर्धारण गरेका विशिष्ट उद्देश्य पूरा गराउन अपर्याप्त मात्र होइन अत्यन्तै झरा टार्ने खालको छ । त्यसैले यसमा हामी शिक्षकहरू चनाखो हुनु जरुरी छ । हामीले त्यसमा दिइएका तीनवटा प्रश्नको समाधान एक दिनमा गराए र ढुक्क हुन मिल्दैन । त्यो पाठलाई कम्तीमा पनि एकहप्ताको समय दिएर विभिन्न क्रियाकलाप हरू मार्फत् विद्यार्थीहरूमा स्थानमान को धारणा बसाल्नुपर्छ । यसो गर्दा विद्यार्थीहरूलाई कक्षा एककै अन्य पाठ्यवस्तुहरू सिकाउन पनि सजिलो हुन्छ । साथै माथिल्ला कक्षाहरूमा गणितका विभिन्न विषयवस्तुसँग सम्बन्धित समस्या समाधान गर्न आवश्यक पर्ने धारणा बसाउन पनि त्यसले मद्दत गर्छ ।

के गर्न सकिन्छ ?
कक्षा एक देखि नै सङ्ख्याहरूमा प्रयोग हुने अङ्कहरूको स्थानमान को धारणा बसाउन विद्यार्थीलाई विभिन्न क्रियाकलाप गराउन सकिन्छ । यसको लागि हराम्रो वरपर सित्तैँमा उपलव्ध हुनसक्ने वा न्यून मूल्यमा प्राप्त गर्न सकिने सामग्रीहरू प्रयोग गर्न सकिन्छ । सित्तैँ पाइने सामग्रीमा काठका छेस्का, सिन्का, मसिना ढुङ्गा आदि पर्छन् भनेगुच्चा, दाँत कोट्याउने सिन्का, केटाकेटीले खेल्ने चुङ्गी आदि चिज थोरै खर्चमा जुटाउन सकिन्छन् । सामग्रीको छनोट गर्दा सहजै उपलब्ध हुनसक्ने र केटाकेटीहरू रोमाञ्चित हुने किसिमका सामग्री के हुनसक्छन् भन्ने कुरा मा ध्यान दिनुपर्छ । हामी सबैभन्दा सस्तो मूल्यमा उपलब्ध हुने चुङ्गी (Rubber bands) को प्रयोग गरी स्थानमान को धारणा बसाल्ने एउटा क्रियाकलाप हेरौंः

• कक्षामा थोरै विद्यार्थी भए १०० वटा र धेरै विद्यार्थी भएमा समूह विभाजन गरी क्रियाकलाप गराउन आवश्यकता अनुसार प्रति समूह १०० वटाका दरले चुङ्गीको व्यवस्था गर्ने ।
• विद्यार्थीको प्रत्येक समूहमा १०० वटा चुङ्गी दिने र उनीहरूलाई नै १०–१० वटाका दरले ९ वटागुच्छा बनाउन लगाउने । बाँकी १० वटा चुङ्गी त्यत्तिकै खुल्ला छोड्न लगाउने ।
• समूहको एक–एकजना विद्यार्थीलाई पालैपालो निश्चित सङ्ख्यामा चुङ्गी छुट्याउन लगाउने । जस्तैः “३२ वटा चुङ्गी हातमा लेऊ ।” विद्यार्थीले दश वटाकोगुच्छा तीनवटा र दुईवटा एक्लो चुङ्गी लिनेछन् । त्यसै गरी २३ वटा चुङ्गी लिनुपर्दा दशवटाकोगुच्छा दुई वटा र तीनवटा एक्लो चुङ्गी लिनेछन् । यसै गरी पालैपालो शिक्षकको निर्देशन अनुसार तोकिएको सङ्ख्यामा चुङ्गी छुट्याउनेछन् ।
• यसरी छुट्याइएका चुङ्गीको सङ्ख्या स्थानमान तालिकामा र विस्तारित रूपमा समेत लेख्न सक्नेछन् । जस्तैः
• यो क्रियाकलाप लाई आवश्यकता अनुसार सही सङ्ख्यामा चुङ्गी छुट्याउन सकेवापत विद्यार्थीलाई व्यक्तिगत वा समूहगत रूपमा अङ्क प्रदान गरी प्रतियोगितात्मक खेलको रूपमा पनि खेलाउन सकिन्छ ।

यो क्रियाकलाप बाट विद्यार्थीहरूमा दशको निश्चित समूह र एकको निश्चित एकाइ लिएर तोकिएको सङ्ख्या बनाउन सकिँदोरहेछ भन्ने कुरा व्यावहारिक रूपमा नै धारणा बस्न जान्छ । अर्थात् उनीहरूले ३२ भन्ने सङ्ख्या “तीन–दुई बत्तीस” होइन “तीनदश–दुई बत्तीस” रहेछ भन्ने बुझन थाल्छन् । यसपछि विद्यार्थीहरूले दिइएको सङ्ख्यालाई माथि दिइए झै आवश्यकता अनुसार स्थानमान तालिकामा राख्न वा विस्तारित रूपमा लेख्न वा दुई सङ्ख्याहरूमध्ये ठूलो र सानो छुट्याउन वा दुई वा सोभन्दा बढी सङ्ख्याहरूलाई बढ्दो वा घट्दो रूपमा राख्न मात्र होइन, हातलागी नआउने जोड वा सापटी लिनु नपर्ने घटाउ गर्ने कामको लागि समेत उक्त सङ्ख्याका अङ्कहरूको स्थानमान लाई प्रयोग गर्न सक्छन् । यति मात्र होइन, कक्षा दुई वा सोभन्दा माथिल्ला कक्षाहरूमा समेत हातलागी आउने जोड वा सापटी लिनुपर्ने घटाउको लागि पनि अङ्कहरूको स्थानमान को अवधारणा प्रयोग गर्न सक्छन् । जस्तैः

तसर्थ; एकदिन एक कप चिया खाने जमर्को गरेर चुङ्गी किनेर विद्यार्थीसँग चुङ्गी खेलेर हेरौं, कत्तिको परिवर्तन आउँदो रहेछ, त्यसपछि थाहा हुनेछ ।

एस.एल.सी.को जग कक्षा एक !
कक्षा एकमा यो क्रियाकलाप गराए र विद्यार्थीहरूलाई सङ्ख्यामा अङ्कहरूको स्थानमान को अवधारणा छर्लङ्ग बनाउन सक्यौं भने हामी कक्षा एकमा मात्रै पढाइरहेका हुँदैनौं, सोही समयमा ती विद्यार्थीले दश वर्षपछि कक्षा दशमा हल गर्नु पर्ने समस्याको पनि हल गरिरहेका हुनेछौं । जस्तोः
“दुई अङ्कले बनेको सङ्ख्यामा ... ।”

विद्यार्थीहरू उक्त सङ्ख्याका थाहा नभएका अङ्कहरू x र y मान्नेछन् र ती अङ्कहरूबाट बन्ने सङ्ख्या र त्यसको विपरित सङ्ख्या बनाउनेछन्ः 10x+ र 10y+x ।
कक्षा दशमा पुगेपछि विद्यार्थीले झेल्नुपर्ने यस्ता समस्याहरू धेरै छन् । कक्षा एक देखि नै आवश्यक पर्ने धारणाहरू व्यावहारिक रूपमा बसाल्न सके एस.एल.सी.का विद्यार्थीले “तीन–दुई बत्तीस” याने कि, “तीनदश–दुई बत्तीस” को लागि अवश्य पनि अहिलेजस्तो धेरैपटक प्रयास गर्नु पर्ने छैन ।

यो क्रियाकलाप बाट स्थानमान मा शून्यको धारणा पनि सजिलै बसाल्न सकिन्छ । “एकलाई –सुन्ना दश ... दुईलाई –सुन्ना बीस ...” को रटान लगाउनुभन्दा विद्यार्थीलाई दशवटा वा बीसवटा वा तीसवटा चुङ्गी लिन ल गाउँ, कतिवटा दश र कतिओटा एक छ भनेर सोधौं । जस्तैः तीसमा कतिवटा दश र कतिवटा एक छ भनेर सोधौं– “तीनवटा दश, एक छैन” उत्तर आउनेछ । “तीन दश– तीस” विद्यार्थीहरू आफैं भन्नेछन्– “तीनलाई सुन्ना तीस” को “गोपीकृष्ण कहो” आफैं हराउनेछ ।

अन्त्यमा,
प्रसिद्ध भारतीय विद्वान् मो. उमरले “शैक्षणिक सन्दर्भ अङ्क ७ (मूल अङ्क ६४) मा अत्यन्त रमाइलो पारामा लेख्नुभएको “जीरो माने कुछ नहीं... कुछ भी नहीं” मा उल्लिखित समस्या हाम्रा कक्षाकोठाभित्र उल्लेख्य मात्रामा छन् । यसलाई निमिट्यान्न पार्ने दायित्व हामी गणित शिक्षकहरूकै हो ।